X
تبلیغات
محمد نجار تحقیقات علمی -

محمد نجار تحقیقات علمی

محمدنجاردزفولی

تحلیل حدی

روش کلمب برای تحلیل فشارهای خاک ، شرایط حداکثری را در نظر می گیرد که در آن خاک در آستانه ی گسیختگی است. این نوع تحلیل، مبنای نظری استواری را از طریق نظریه ی خمیرایی ارائه می دهد. همچنین این تحلیل، این امکان را به وجود می آورد که این روش رواج یابد و محدودیت های ممکن و درستی این روش بررسی شود.

در تحلیل تنش ها و کرنش ها ، در مکانیک پیوستاری، سه نوع معادله لازم است : وضعیت های تعادل ، روابط اساسی و معادلات تناسب. هدف اصلی این است که تنش ها و کرنش ها را در یک توده ی مشخص، تحت تأثیر تنش ها و جابجایی های فرض شده در سطح آن توده، مشخص شوند. حتی برای ساده ترین نوع مواد، یک توده ی ارتجاعی، که در آن روابط اساسی ، روابط خطی میان تنش ها و کرنش ها هستند ( قانون هوک )، یک وظیفه ی دشوار است که تنها برای موارد ساده مانند فضای نیمه ، یک کره ی کامل یا یک توده ی استوانه ای ، می تواند حل شود. راه حل های تخمینی برای مواد مختلفی شامل مواد ارتجاعی خطی، با استفاده از روش های عددی پیشرفته مانند روش اجزاء محدود ، استفاده می شوند. گرچه ، چنین روش های عددی در این کتاب در نظر گرفته نمی شوند. روش دیگری ممکن است به وسیله ی تحلیل حدی بر اساس نظریه ی خمیرایی ایجاد شود که در نظر دارد نه تنها حوزه ی کاملی از تنش ها و تغییر شکل های واقعی، ارائه دهد بلکه برای ارائه ی حد بالاتر و پایین تر ممکن از تنش ها و تغییر شکل ها، اختصاص یافته است.

 

1- 39  قضیه های اساسی نظریه ی شکل پذیری

با در نظر گرفتن تحلیل حدی ، نه تنها همه ی جزئیات روابط اساسی در نظر گرفته می شوند بلکه، یک جنبه ، یعنی معیار گسیختگی مواد، فوری ارائه می شود. این معیار برای خاک ممکن است معیار موهر- کلمب باشد که به وسیله ی چسبندگی C و یک زاویه ی اصطکاک Φ معرفی می شود. همچنین همه وضعیت های تعادل و معادلات سازگاری در نظر گرفته نمی شوند بلکه تنها زیر مجموعه ای از این معادلات در نظر گرفته می شود. هدف تحلیل حدی، تعیین محدوده ی کاملی از تنش ها و کرنش های واقعی نیست ، بلکه تنها تعیین مقادیر حدی مشخص، است. مشکل ممکن است ، تعیین کران پایین برای حداکثر بار مجاز روی یک توده ی خاک باشد و یا تعیین یک کران بالایی برای این بار حداکثر باشد. اگر بتوان کران پایینی برای بار گسیختگی پیدا کرد، به طور حتم هیچ گسیختگی به درازی بار واقعی که در زیر این مرز پایینی قرار گرفته است ، اتفاق نخواهد افتاد. اگر بتوان کران بالایی پیدا کرد ، به طور حتم اگر بار واقعی بزرگتر از این کران بالایی باشد ، گسیختگی رخ خواهد داد.

در ساده ترین شکلش ، نظریه ی خمیرایی ، از یک وضعیت گسیختگی یکنواخت و منفرد استفاده می کند که این وضعیت تنها تأثیر تنش ها است. این وضعیت، توضیح می دهد که برای ترکیب های مشخصی از تنش ها در یک نقطه از مواد ، تغییر شکل ها بدون کران ها افزایش می یابد ( که تسلیم شدگی خمیرایی نامیده می شود ) ، همچنین توضیح می دهد که برای تنش های کوچکتر، هیچ تغییر شکل خمیری، رخ نمی دهد. یک ماده با چنین وضعیت ساده ی تسلیم، یک ماده ی کاملاً خمیری نامیده می شود. برای خاک ها ، یک وضعیت تسلیم مناسب ، معیار موهر – کلمب نامیده می شود ، همچنین با این وجود وضعیت های خمیری پیچیده تری ، بررسی شده اند.

در تدوین قضیه های اساسی نظریه ی خمیرایی ، دو نوع حوزه مورد استفاده قرار می گیرد که به صورت های زیر تعریف می شوند :

1- یک سیستم تعادل یا میدان قابل قبولی از تنش ها در حال سکون که توزیعی از تنش ها است که وضعیت های زیر را برقرار می کند :

a . وضعیت های تعادل را در هر نقطه از توده برقرار می کند.

b . وضعیت های مرزی را برای تنش ها برقرار می کند.

c . وضعیت تسلیم در هر نقطه از توده افزایش نمی یابد.

 

2- یک مکانیسم یا میدان قابل قبولی از جابجایی ها ، توزیع جابجایی ها و تغییر شکل ها است که وضعیت های زیر را برقرار می کند.

a . میدان جابجایی، هماهنگ و سازگار است به عبارت دیگر ، هیچ فاصله یا تداخلی در توده ایجاد نمی شود ( لغزش یک قسمت در طول قسمت دیگر، مجاز محسوب می شود. )

b . وضعیت های مرزی را برای جابجایی ها برقرار می کند.

c . در هر جایی که تغییر شکل رخ دهد ، تنش ها، وضعیت تسلیم را برقرار می کنند.

 

قضیه های اساسی نظریه ی خمیرایی ، اینها هستند :

1- قضیه ی کران پایین

بار گسیختگی صحیح ، بزرگتر از بار مطابق با سیستم تعادل است.

2- قضیه ی کران بالا

بار گسیختگی صحیح ، کوچکتر از بار مطابق با یک مکانیسم است، البته اگر آن بار با استفاده از اصل کار مجازی تعیین شود.

اولین قضیه بیان می کند که اگر برای یک بار مشخص، یک سیستم تعادل پیدا شود ( از هماهنگی چشم پوشی شده باشد )، سپس آن بار به طور حتم می تواند انتقال داده شود. قضیه ی دوم بیان می کند که اگر بتوان یک مکانیسم تطبیق داده شده با یک بار مشخص، پیدا کرد ( در جایی که تعادل در نظر گرفته شود آن قدر که با تغییر شکل انتخاب شده، مطابقت داشته باشد)، سپس این بار، بی تردید نمی تواند انتقال یابد.

ممکن است خاطرنشان شود که در این قضیه ها و در تعریف حوزه های قابل قبول در حالت سکون و یا جنبش ، روابط اساسی بیان نشوند و بنابراین ، هیچ نقشی بازی نکنند ، به جز برای این بیانیه که اگر تنش ها، وضعیت تسلیم را برقرار کنند ، ماده تسلیم خواهد شد.

اثبات این دو قضیه در ضمیمه ی  C ، ارائه می شود. هنگامی که این اثبات ها را بررسی کنیم ، واضح می شود که آنها تنها یک درستی محدود دارند. مهم ترین محدودیت آن است که برای یک ماده با اصطکاک، مانند خاکی که برای آن وضعیت تسلیم، همان معیار موهر- کلمب است ، با چسبندگی c و زاویه ی اصطکاک Φ ، قضیه ها تنها هنگامی معتبر هستند که انبساط حجمی پیش رونده، معادل مقدار سینوس Φ ضربدر سرعت تغییر شکل برشی ، طی تغییر شکل خمیری دیده شود. این حالت ، یک رفتار غیر واقعی به نظر می رسد ، به طوری که می توان انتظار داشت که در مورد تغییر شکل های خمیری پیش رونده ، حجم تقریباً ثابت باقی بماند. همچنین ، این همان چیزی است که اغلب در پژوهش های تجربی، تأیید شده است. هر انبساط حجمی خمیری پیش رونده، به این معنی است که ماده بدون هیچ محدودیتی ، منبسط می شود و به نظر می رسد دور از ذهن باشد. به این معنی که، قضیه های اصلی خمیرایی، معتبر نیستند ، به جز برای      0  = Φ یعنی برای مواد چسبنده ی خالص. برای چنین ماده ای، این نظریه پیش بینی می کند که در طول تغییر شکل های خمیری، حجم ثابت است و این ، با شواهد تجربی مطابقت دارد.

به علت اینکه برای 0  = Φ ، قضیه ها معتبر هستند ، به دنبال آن، برای چنین ماده ای ، پیش بینی های مطمئن و نامطمئن راجع به رفتار توده ی خاک، می تواند انجام شود. برای بارگذاری های سریع خاک های رس اشباع شده، به راستی می توان فرض کرد که 0  = Φ و مقاومت برشی زهکشی نشده  C = Su ، به فصل 25 مراجعه کنید. در ماسه که برای آن ضروری است که زاویه اصطکاک  > 0Φ باشد ، قضیه ها حداقل در مبنا ، معتبر نیستند. با این وجود ، در کار مهندسی، ممکن است آنها ، اغلب در یک فرم تا حدودی اصلاح شده ، مورد استفاده قرار گیرند. هنگام تدوین نتایج از تحلیل حدی برای ماسه ها باید دقت زیادی شود. قضیه های حد در فصل 33 و 34 عملاً مورد استفاده قرار گرفته اند. با توجه به فصل 33 ، مسائل رانکین بر پایه ی سیستم های تعادل هستند که با انتخاب تنش افقی مانند آن حد تسلیم شدگی ، به دست می آید. این بدان معنی است که بار گسیختگی از زیر، نزدیک می شود. با توجه به فصل 34 ، در تحلیل بعدی کلمب ، مبنا، یک سیستم جنبشی است که همراه با سر خوردن در طول صفحه ی مستقیم لغزش است. سپس بار گسیختگی از بالا نزدیک می شود.

در فصل های بعدی ، حالت های حدی برای انواعی از ساختارها ، با استفاده از تحلیل حدی، ملاحظه می شوند. این حالت ها، شامل ظرفیت باربری پی سطحی و پایداری شیب هاست.

 

پی نواری

یکی از ساده ترین مسائل مربوط به حد پایین تر و حد بالاتر که می تواند تعیین شود ، مورد بار یک نوار بسیار طولانی است که روی لایه ای از مواد چسبنده ی همگن (0  = Φ ) قرار دارد، شکل 4001  را ببینید. وزن مواد ، حداقل در این فصل، نادیده گرفته خواهد شد. مسئله ، طرح ریزی شالوده ی کم عمق یک ساختمان با استفاده از یک شالوده ی نواری طولانی که مثلاً ساخته شده از بتون است، می باشد. اول تلاش خواهد شد با استفاده از یک سیستم تعامل، حد پایین تری برای بار گسیختگی بدست آید. چنین سیستمی باید میدانی از تنش ها را شامل شود که وضعیت های تعادل را در همه ی نقاط میدان برقرار کند که با توزیع تنش ارائه شده روی سطح خاک سازگار باشد. و وضعیت حاصله در هر نقطه را نقض نکند.

 

4001 کران پایین تر

راه حل اولیه شرایط تعادل در یک منطقه ی مشخص، تنش هایی در آن منطقه است که متداوم باشند. زیرا همه ی شرایط در حقیقت برقرار هستند. در یک میدان دو بعدی در نبود گرانش به صورت زیر هستند :

معادله ( 4001 )                 معادله ( 4002 )                معادله ( 4003 )

مشکل اصلی برقراری وضعیت کرانی است زیرا تنش قائم   zzσ در امتداد سطح ناپیوسته است، شکل 4001 را ببینید . ــــــــــــــــــ  با توجه به آنکه در میدان قابل قبول تنش های در حال سکون (یک سیستم تعادل)، نه همه ی تنش ها لازم است پیوسته باشد، این مشکل می تواند برطرف شود. ظاهراً این مسئله می تواند با بازبینی معادلات تعادل (4003) – (4001) تشخیص داده شود.

همه مشتق گیری های جزیی در این معادلات باید وجود داشته باشد و بدین معناست که تنش ها حداقل در جهاتی که مجبورند متمایز باشند باید پیوسته باشند. که به دنبال آن تنش برشی  xyσ باید در هر دو جهت پیوسته باشند. تنش قائم xxσ باید در جهت x  پیوسته باشد و تنش قائم zzσ باید در جهت z  پیوسته باشد. هرچند ، دو مشتق گیری جزیی، zə / xxσə  و  xə / zzσə  در معادلات تعادل ظاهر نمی شوند و بنابراین شرایط مجبور به تحمیل روی استمرار این دو تنش قائم در این جهات نیستند. این بدان معناست که xxσ در جهت z ممکن است ناپیوسته باشد. در شکل 4002 چنین ناپیوستگی مربوط به جهت عمودی نشان داده شده است. این شکل یک عامل بهمراه همه ی تنش هایی که روی مرزهای آن اعمال می شود را نشان می دهد. تنش قائم xxσ بخاطر تعادل باید در جهت x  پیوسته باشد که اجازه دادن نزدیک شدن عرض عامل به صفر می تواند به سهولت بیشتری دیده شود. پس تداوم تنش xxσ می تواند بعنوان نتیجه ای از اصل چگونگی عمل و عکس العمل نیوتن دیده شود. هرچند ممکن است تنش قائم zzσ بدون توزیع تعادل، از وسط خط عمود بپرد.

در شکل 4002 تنش zzσ در جهت x ناپیوسته است. مشتق گیری جزیی xə / zzσə به طور نامحدودی در محل محور عمود می باشد. اما عامل و همه ی اجزای آن به طور خوبی در تعادل هستند.

این خاصیت سیستم های تعادل توسط داکر ، یکی از بنیان گذاران نظریه ی خمیرایی، برای ساخت میدان های تعامل مربوط به مسائل کاربردی، بکار گرفته شده است. در این روش ، میدان به شکل ساده ای از مناطق تقسیم می شود که در هر یک تنش متداوم می باشد تا اینکه معادلات تعادل به طور خودکار برقرار شوند. ـــــــ بنابراین با مستلزم دانستن آنکه همه ی تنش ها که روی سطوح مرزی انتقال یافته اند پیوسته باشند و اجازه دادن به ناپیوسته شدن تنش های قائم در جهت این کران ها، مناطق مختلف متصل می شوند. در شکل 4003 مربوط به پی نواری نشان داده شده است. در یک نوار عمودی زیر بار بصورت C 4=  zzσ و C 2=  xxσ  و = 0  xzσ فرض شده اند.

در دو منطقه ی راست و چپ نوار تنش ها C 2=  xxσ ،= 0  zzσ و = 0  xzσ می باشند. در دو خط ناپیوسته ی عمودی تنها تنش قائم عمودی zzσ ناپیوسته است. تنش های دیگر همان گونه که مورد نیاز تعادل است پیوسته می باشند. این میدان تنش ها همه ی وضعیت های تعادل و شرایط حدی روی سطح بالا را برقرار می سازد. چنانچه> a     ، تنش برشی = 0  zxσ  و تنش قائم   = 0  zzσ  می باشد و چنانچه  < a  ، C4= p =  zzσ است، جایی که a2 عرض نوار بارگذاری شده می باشد. توزیع تنش همچنین باید شرایطی را برقرار کند که وضعیت تسلیم شدگی هرگز نقض نشود. همان گونه که در نیمه ی راست شکل 4003 نشان داده شده است این مسئله با در نظر گرفتن دایره های موهر می تواند با سهولت بیشتری بررسی شود. برای اینکه همه ی دایره ها درون پوشش تسلیم باقی بمانند ، مقدار بار p باید به صورت C 4 p <   باشد. توزیع تنش همه شرایط مربوط به یک میدان تنش قابل قبول در حال سکون را برقرار می کند و می توان این گونه نتیجه گیری کرد که  C 4p =   کران پایین تر مربوط به بار گسیختگی است. اگر بار گسیختگی صحیح با  Pc نشان داده شود ، حالا می توان معادله ی زیر را نشان داد.

( 4004 )                       c       4  ≤   Pc                               

شکل 40.2 – ناپیوستگی تنش                  شکل 40.3 - سیستم تعادل

ممکن است با در نظر گرفتن بیش از دو ناپیوستگی، خط هایی که کمی بالاتر از مرزهای پایینی هستند می توانند یافت شوند. هرچند ، این مسئله در اینجا بررسی نخواهد شد.

 

روش دیگر برای بدست آوردن میدان تنش قابل قبول در حال سکون، استفاده از یک راه حل قابل انعطاف، هنگامی که در دسترس باشد ، است. چنین راه حلی، معادلات تعادل و شرایط مرزی را برقرار می کند و همچنین قانون هوک و معادلات سازگاری را برقرار می سازد ( که برای یک میدان تنش قابل قبول در حال سکون مورد نیاز نیست ). چنانچه میدان تنش به گونه ای باشد که حداکثر تنش برشی بزرگتر از مقاومت C نباشد ، کران پایینی بار گسیختگی بدست می آید. در مورد یک بار نواری، راه حل قابل انعطاف در فصل 30 ارائه شده است، شکل 4004 را ببینید. حداکثر تنش برشی می تواند به صورت زیر نشان داده شود :           معادله ی ( 5 . 40 )

این معادله با در نظر گرفتن معادله ی ( 6 . 40 ) می تواند از فرمول های ( 6 . 29 ) – ( 4 . 29 ) ناشی شود. حداکثر مقدار  ، این باشد تا اینکه تنش برشی قابل قبول در حال سکون   شود و چنانچه با C برابر شود ، بار        p = πc می باشد. در مورد این مقدار بار، راه حل قابل انعطاف، یک میدان تنش قابل قبول در حال سکون می باشد و بار مطابق، کران پایینی مربوط به بار گسیختگی است. یعنی     معادله ( 7. 40 )    شکل 4. 40 – راه حل قابل انعطاف                                                                                                                                                             

متأسفانه، این مقدار از مقداری که قبلاً پیدا شد ( C4 ) پایین تر است برای اینکه کران پایینی ارتجاعی در تخمین بهتر بار گسیختگی سهیم نیست.

 

 

 

2. 40 کران بالایی

یک کران بالایی مربوط به بار گسیختگی با در نظر گرفتن مکانیسمی که در شکل     5. 40  نشان داده شده است می تواند بدست آید. این مکانیسم، میدان جابجایی را شامل می شود که در آن نصف یک دایره با شعاع a بدون تغییر شکل های داخلی روی یک زاویه ی کوچک می چرخد. این نیم دایره در امتداد بخش باقیمانده ی توده می لغزد. میدان جابجایی همساز است و شرایط مرزی راجع به جابجایی ها را برقرار می سازد ( این بسیار ساده است : هیچ چیز وجود ندارد ). باری که با این تغییر شکل مطابق است می تواند با استفاده از اصل کار عمودی، تعیین شود. چنانچه دایره روی یک زاویه ی کوچک θ بچرخد ، جابجایی در امتداد دایره  aθ می باشد. کاری که توسط تنش های داخلی مربوط به تغییر شکل های مجازی ( که در محیط دایره متمرکز شده اند ) انجام شده است، پذیرفته می شود که تنش های برشی در طول دایره حداکثر مقدار C  را بدست می آورند ، θ 2c a π ، زیرا طول دایره aπ می باشد. جابجایی متوسط بار خارجی  aθ   است تا اینکه کار انجام شده توسط بار θ2pa  می شود.

با یکی دانستن دو شکل کار معادله زیر بدست می آید :    πC2p =   

( 8. 40) کران بالایی مربوط به بار گسیختگی Pc  می باشد.  c28/6          Pc 

یک کران بالایی که تا حدی پایین تر است می تواند با انتخاب مرکز دایره تا حدی بالاتر، پیدا شود ، شکل 6 . 40 را ببینید. چنانچه زاویه در رأس α2 و دوباره چرخش θ باشد ، معادله کار مجازی فرمول زیر را ارائه می دهد :

  θ2pa   = αθ 2C R2 و چون  a = R sin α  که در آن R شعاع دایره و a عرض بار است بنابراین  p =    

چون  π  = α  است کران بالایی قبلی دوباره بدست می آید. کوچکترین مقدار بدست آمده مربوط به  ̊ 66.78=  α  ،  165562/1=  α  می باشد. بنابراین مرکز دایره در ارتفاع a 429/0 قرار گرفته است. مقدار مطابق p ، C 5/5 می باشد. این یک کران بالاتر است، از این رو معادله (9 . 40) در این مرحله را می توان به صورتی که نشان داده شده است، نتیجه گیری کرد     معادله ( 10 . 40)

در فصل بعد بار گسیختگی در مرزهای حتی بسته تری محدود خواهد شد.

 

باید تأکید شود که برای تعیین یک سیستم متعادل، تغییر شکل ها مناسب نیستند. و در یک مکانیسم که تعادل داخلی نامناسب باشد ، غیر از آنکه معادله ی کار مجازی بتواند بعنوان وضعیت تعادلی که با طرز گسیختگی فرض شد. تطابق دارد، در نظر گرفته شود.

در دو مثالی که در اینجا در نظر گرفته شد، با یک چرخش در امتداد سطح لغزش دایره ای ، وضعیت تعادل با توجه به مرکز دایره، تعادل گشتاورها می باشد. این یک نتیجه ی کلی است : در یک بررسی راجع به اساس یک سطح لغزش دایره ای، بار گسیختگی می تواند با در نظر گرفتن گشتاورها با توجه به مرکز دایره، محاسبه شود. این معادله با معادله ی کار مجازی مساوی است. چون در یک مکانیسم که وضعیت های تعادل دیگر نامناسب هستند و نیازی به برقراری آنها نیست ، تعیین گسیختگی از هر نوع دیگر وضعیت تعادل و حتی تعادل گشتاور با توجه به نقطه ی دیگری نسبت به مرکز دایره پذیرفته نمی شود.

 

 

 

+ نوشته شده در  سه شنبه بیستم دی 1390ساعت 9:36 قبل از ظهر  توسط محمدنجار  |